Induksi Matematik Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh Misalkan pn adalah pernyataan yang menyatakan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah nn + 1/2”. Buktikan bahwa pn benar! Contoh lainnya Setiap bilangan bulat positif n n 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu atau lebih bilangan prima. Untuk semua n 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3. Untuk membayar biaya pos sebesar n sen dolar n 8 selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sen dolar. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali. Jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah nn – 1/2. 5. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2n Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas. Prinsip Induksi Sederhana. Misalkan pn adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa pn benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa p1 benar, dan untuk semua bilangan bulat positif n 1, jika pn benar maka pn + 1 juga benar. Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi andaian yang menyatakan bahwa pn benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa pn benar untuk semua bilangan bulat positif n. Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa 11! + 22! + … + nn! = n + 1! – 1 Contoh 2. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Penyelesaian i Basis induksi Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1. ii Langkah induksi Andaikan untuk n 1 pernyataan 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2 adalah benar hipotesis induksi [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah 2n – 1]. Kita harus memperlihatkan bahwa 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = n + 12 juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = [1 + 3 + 5 + … + 2n – 1] + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n + 12 Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Prinsip Induksi yang Dirampatkan Misalkan pn adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa pn benar untuk semua bilangan bulat n n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa pn0 benar, dan untuk semua bilangan bulat n n0, jika pn benar maka pn+1 juga benar. Contoh 3. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 Penyelesaian i Basis induksi. Untuk n = 0 bilangan bulat tidak negatif pertama, kita peroleh 20 = 20+1 – 1. Ini jelas benar, sebab 20 = 1 = 20+1 – 1 = 21 – 1 = 2 – 1 = 1 ii Langkah induksi. Andaikan bahwa untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar hipotesis induksi. Kita harus menunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2n+1 + 1 – 1 juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2n+1 – 1 + 2n+1 dari hipotesis induksi = 2n+1 + 2n+1 – 1 = 2 . 2n+1 – 1 = 2n+2 – 1 = 2n+1 + 1 – 1 Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 Contoh 4. Buktikan dengan induksi matematik bahwa pada sebuah himpunan beranggotakan n elemen, banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari himpunan tersebut adalah 2n. Contoh 5. Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya pos sebesar n sen n 8 selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar. Penyelesaian i Basis induksi. Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen saja. Ini jelas benar. ii Langkah induksi. Andaikan bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n n 8 sen dapat digunakan perangko 3 sen dan 5 sen hipotesis induksi. Kita harus menunjukkan bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah perangko 5 sen dengan dua buah perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai n + 1 sen. Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen semuanya. Karena n 8, setidaknya harus digunakan tiga buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen, akan dihasilkan nilai perangko n + 1 sen. Contoh 6. Sebuah ATM Anjungan Tunai Mandiri hanya menyediakan pecahan uang Rp dan Rp -. Kelipatan uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh ATM tersebut? Buktikan jawaban anda dengan induksi matematik.

Subscribe!Klik di sini untuk berlangganan artikel melalui Telegram. Selain merentang ruang vektor, sebuah himpunan harus bebas linear, untuk menjadi basis ruang vektor. Tapi, apa sih yang disebut bebas linear? Lalu, bagaimana cara memeriksa apakah suatu himpunan bebas linear? Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari perhatikan daftar isi berikut. Definisi Himpunan Bebas Linear Definisi Misalkan adalah himpunan yang terdiri dari dua atau lebih vektor dalam ruang vektor . Himpunan S disebut bebas linear, jika tidak ada vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Himpunan yang tidak bebas linear disebut bergantung linear. Himpunan yang hanya terdiri dari satu vektor disebut bergantung linear, jika vektor tersebut tak nol. Teorema mengenai Himpunan Bebas Linear Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan himpunan bebas linear dan bergantung linear. Teorema 1 Misalkan adalah himpunan yang beranggotakan dua vektor. Himpunan bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor yang merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya. Teorema 2 Himpunan berhingga yang memuat adalah bergantung linear. Teorema 3 Misalkan adalah himpunan tak kosong dalam ruang vektor , dengan . Himpunan bebas linear jika dan hanya jika persamaan vektor hanya mempunyai solusi trivial, yaitu . Teorema 4 Misalkan adalah himpunan vektor dalam . Jika maka himpunan bergantung linear. Soal dan PembahasanNomor 1Misalkan adalah himpunan yang beranggotakan dua vektor. Buktikan bahwa bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor yang merupakan kelipatan skalar dari vektor $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2\}$. Pernyataan dalam soal berbentuk biimplikasi, sehingga perlu dibuktikan dari dua arah. DARI KIRIDiketahui $S$ bebas linear. Berdasarkan definisi, tidak ada vektor dalam $S$ yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya. Artinya, tidak ada skalar $k$ dan $m$ yang memenuhi $\textbf{v}_1=k\textbf{v}_2$ dan $\textbf{v}_2=m\textbf{v}_1$. Dengan demikian, $\textbf{v}_1$ bukan kelipatan skalar dari $\textbf{v}_2$ dan begitupun sebaliknya. Terbukti. DARI KANANDiketahui bahwa tidak ada vektor dalam $S$ yang merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya. Artinya, tidak ada skalar $k$ dan $m$ yang memenuhi $\textbf{v}_1=k\textbf{v}_2$ dan $\textbf{v}_2=m\textbf{v}_1$. Dengan kata lain, $\textbf{v}_1$ bukan kombinasi linear dari $\textbf{v}_2$ dan begitupun sebaliknya. Berdasarkan definisi, $S$ adalah himpunan bebas linear. 2Buktikan bahwa himpunan berhingga yang memuat adalah bergantung $S$ adalah himpunan berhingga yang terdiri dari $r+1$ elemen, dengan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r,\textbf{0}\}$. Perhatikan bahwa $$\textbf{0}=0\textbf{v}_1+0\textbf{v}_2+\ldots+0\textbf{v}_r$$ Salah satu vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Berdasarkan definisi, $S$ bergantung linear. 3Misalkan adalah himpunan tak kosong dalam ruang vektor , dengan . Buktikan bahwa bebas linear jika dan hanya jika persamaan vektor hanya mempunyai solusi trivial, yaitu .PembahasanDARI KIRIKita bagi menjadi dua kasus, berdasarkan banyak anggota dari $S$. Untuk kasus pertama, kita misalkan $S$ hanya beranggotakan satu vektor, sebutlah $\textbf{v}$. Karena $S$ bebas linear, maka haruslah $\textbf{v} \neq \textbf{0}$. Akibatnya, persamaan vektor $k\textbf{v}=\textbf{0}$ hanya dipenuhi oleh skalar $k=0$. Terbukti. Untuk kasus kedua, kita misalkan $S$ beranggotakan lebih dari satu vektor, yaitu $S=\{ \textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r \}$ dengan $r \geq 2$. Kita akan menggunakan bukti dengan kontradiksi. Andaikan persamaan vektor $$k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + \ldots + k_r \textbf{v}_r = \textbf{0} \tag{1}$$ mempunyai solusi non trivial. Artinya, di antara $k_1,k_2,\ldots,k_r$ terdapat skalar tak nol. Tanpa mengurangi perumumuan, misalkan $k_1 \neq 0$. Karena $k_1 \neq 0$, maka persamaan $1$ dapat ditulis sebagai $$\textbf{v}_1+\frac{k_2}{k_1} \textbf{v}_2 + \ldots + \frac{k_r}{k_1} \textbf{v}_r = \textbf{0}$$ yang berakibat $$\textbf{v}_1 = \left-\frac{k_2}{k_1} \right \textbf{v}_2 + \ldots + \left-\frac{k_r}{k_1} \right \textbf{v}_r$$ Persamaan di atas menunjukkan bahwa $\textbf{v}_1$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Berdasarkan definisi, himpunan $S$ bergantung linear. Kontradiksi. Jadi, persamaan $1$ hanya mempunyai solusi trivial. DARI KANANKita bagi menjadi dua kasus, berdasarkan banyak anggota dari $S$. Untuk kasus pertama, kita misalkan $S$ hanya beranggotakan satu vektor, sebutlah $\textbf{v}$. Persamaan $k\textbf{v}=0$ hanya dipenuhi oleh $k=0$, sehingga haruslah $\textbf{v} \neq \textbf{0}$. Akibatnya, himpunan $S$ bebas linear. Terbukti. Untuk kasus kedua, kita misalkan $S$ beranggotakan lebih dari satu vektor, yaitu $S=\{ \textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r \}$ dengan $r \geq 2$. Kita akan menggunakan bukti dengan kontradiksi. Andaikan $S$ bergantung linear. Berdasarkan definisi, terdapat anggota $S$ yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Tanpa mengurangi perumuman, misalkan $\textbf{v}_1 \in S$ adalah vektor yang demikian, sehingga $$\textbf{v}_1=c_2\textbf{v}_2+\ldots+c_r\textbf{v}_r$$ untuk suatu skalar $c_2,c_3,\ldots,c_r$. Persamaan di atas dapat ditulis sebagai $$1\textbf{v}_1+-c_2\textbf{v}_2+\ldots+-c_r\textbf{v}_r=\textbf{0}$$ Akibatnya, persamaan vektor $$k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + \ldots + k_r \textbf{v}_r = \textbf{0}$$ dipenuhi oleh $$k_1=1,k_2=-c_2,\ldots,k_r=-c_r$$ Dengan kata lain, terdapat solusi non trivial. Kontradiksi. Jadi, $S$ adalah himpunan bebas linear. 4Misalkan adalah himpunan vektor dalam . Jika maka buktikan bahwa bergantung $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r\}$ dengan $$\begin{aligned} \textbf{v}_1 &= w_{11},w_{12},\ldots,w_{1n} \\ \textbf{v}_2 &= w_{21},w_{22},\ldots,w_{2n} \\ &\vdots \\ \textbf{v}_r &= w_{r1},w_{r2},\ldots,w_{rn} \\ \end{aligned}$$ Perhatikan persamaan vektor berikut $$k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_r\textbf{v}_r = \textbf{0}$$ Jika setiap vektor dinyatakan dalam bentuk komponen, dapat dibentuk sistem persamaan linear $$\left\{\begin{aligned} k_1w_{11}+k_2w_{21}+\ldots+k_rw_{r1} &= 0 \\ k_1w_{12}+k_2w_{22}+\ldots+k_rw_{r2} &= 0 \\ &\vdots \\ k_1w_{1n}+k_2w_{2n}+\ldots+k_rw_{rn} &= 0 \end{aligned}\right.$$ Sistem homogen ini terdiri dari $r$ variabel dan $n$ persamaan. Karena $r > n$, maka sistem ini mempunyai solusi non trivial. Dengan demikian, $S$ bergantung linear. 5Misalkan adalah himpunan vektor yang bebas linear dan subset tak kosong dari . Buktikan bahwa bebas $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}$ bebas linear dan $T$ subset tak kosong dari $S$. Tanpa mengurangi perumuman, misalkan $T=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r\}$ dengan $1 \leq r \leq n$ Andaikan himpunan $T$ bergantung linear, sehingga persamaan vektor $$k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_r\textbf{v}_r = \textbf{0} \tag{1}$$ mempunyai solusi non trivial. Dengan kata lain, terdapat skalar tak nol di antara $k_1,k_2,\ldots,k_r$. Perhatikan bahwa persamaan $1$ dapat ditulis sebagai $$k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_r\textbf{v}_r +\textcolor{red}{0\textbf{v}_{r+1}+\ldots+0\textbf{v}_n} = \textbf{0}$$ Karena persamaan ini mempunyai solusi non trivial, maka himpunan $$\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r,\ldots,\textbf{v}_n\}=S$$ bergantung linear. Kontradiksi. Dengan demikian, himpunan $T$ bebas 6Misalkan . Periksa apakah himpunan bebas $S$ beranggotakan dua vektor. Karena $\textbf{v}_1$ bukan kelipatan skalar dari $\textbf{v}_2$, begitupun sebaliknya, maka berdasarkan Teorema 1, $S$ adalah himpunan bebas 7Misalkan dengan Periksa apakah himpunan bebas bahwa $S$ adalah himpunan vektor dalam $\mathbb{R}^2$, yang terdiri dari 3 vektor. Karena $3 > 2$, maka berdasarkan Teorema 4, $S$ adalah himpunan bebas linear. 8Misalkan dengan Periksa apakah himpunan bebas akan memeriksa apakah persamaan vektor $$k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + k_3 \textbf{v}_3 = \textbf{0}$$ hanya mempunyai solusi trivial $k_1=k_2=k_3=0$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + k_3 \textbf{v}_3 &= \textbf{0} \\ k_1 1,1,2 + k_2 1,0,1 + k_3 2,1,3 &= 0,0,0 \\ k_1,k_1,2k_1 + k_2,0,k_2 + 2k_3,k_3,3k_3 &= 0,0,0 \\ k_1 + k_2 + 2k_3, k_1 + k_3,2k_1 + k_2 + 3k_3 &= 0,0,0 \end{aligned}$$ Berdasarkan kesamaan vektor pada $\mathbb{R}^3$, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\+\&k_2&\+\&2k_3 \=\ &0 \\ k_1&\\&&\+\&k_3 \=\ &0 \\ 2k_1&\+\&k_2&\+\&3k_3 \=\ &0 \end{alignat*}\right.$$ Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah $$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 2\\1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\end{bmatrix}$$ Karena $\text{det}A=0$ periksa!, maka sistem persamaan ini mempunyai solusi non trivial. Berdasarkan Teorema 3, himpunan $S$ bergantung 9Misalkan dengan Periksa apakah himpunan bebas akan memeriksa apakah persamaan vektor $$k_1 \textbf{p}_1 + k_2 \textbf{p}_2 + k_3 \textbf{p}_3 = \textbf{0}$$ hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k_1 \textbf{p}_1 + k_2 \textbf{p}_2 + k_3 \textbf{p}_3 &= \textbf{0} \\ k_1 1+x+x^2 + k_2 1+x^2 + k_3 1+2x &= 0+0x+0x^2 \\ k_1+k_1x+k_1x^2 + k_2+k_2x^2 + k_3+2k_3x &= 0+0x+0x^2 \\ k_1+k_2+k_3+k_1+2k_3x+k_1+k_2x^2 &= 0+0x+0x^2 \end{aligned}$$ Berdasarkan kesamaan vektor pada $P_2$, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\+\&k_2&\+\&k_3 \=\ &0 \\ k_1&\\&&\+\&2k_3 \=\ &0 \\ k_1&\+\&k_2&\\& \=\ &0 \end{alignat*}\right.$$ Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah $$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\\1 & 1 & 0\end{bmatrix}$$ Karena $\text{det}A=1 \neq 0$ periksa!, maka sistem persamaan ini hanya mempunyai solusi trivial. Berdasarkan Teorema 3, himpunan $S$ bebas 10Tentukan nilai sehingga himpunan berikut bebas linear dalam ruang vektor . PembahasanPerhatikan persamaan vektor berikut $$\begin{aligned} k_1-1,-1,x+k_2-1,x,-1+k_3x,-1,-1 &= 0,0,0 \\ -k_1-k_2+xk_3,-k_1+xk_2-k_3,xk_1-k_2-k_3 &= 0,0,0 \end{aligned}$$ Berdasarkan kesamaan vektor pada $\mathbb{R}^3$, dapat dibentuk sistem persamaan $$\left\{\begin{alignat*}{3} -k_1&\-\&k_2&\+\&xk_3 \=\ &0 \\ -k_1&\+\&xk_2&\-\&k_3 \=\ &0 \\ xk_1&\-\&k_2&\-\&k_3 \=\ &0 \end{alignat*}\right.$$ Matriks koefisien dari sistem ini adalah $$A=\begin{bmatrix}-1 & -1 & x\\-1 & x & -1\\x & -1 & -1\end{bmatrix}$$ dengan determinan $$\begin{aligned} \text{det}A &= \begin{vmatrix}-1 & -1 & x\\-1 & x & -1\\x & -1 & -1\end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix}-1 & -1 & x\\0 & x+1 & -x-1\\0 & -x-1 & x^2-1\end{vmatrix} &&[R_2-R_1,\;R_3+xR_1] \\ &= \begin{vmatrix}-1 & -1 & x\\0 & x+1 & -x-1\\0 & 0 & x^2-x-2\end{vmatrix} \quad &&[R_3+R_2] \\ &= -1x+1x^2-x-2 &&[\text{Determinan matriks segitiga}] \\ &= -x+1x+1x-2 \\ &= -x+1^2x-2 \end{aligned}$$ Karena himpunan tersebut bebas linear, maka $\detA \neq 0$. Perhatikan bahwa $\text{det}A=0$ untuk $x=-1$ dan $x=2$. Dengan demikian, himpunan tersebut bebas linear untuk setiap nilai $x$, selain $-1$ dan $2$.

Jawabannya adalah A karena A,i,u,e,o sama dengan 1,2,3,,4,5SEMOGA MEMBANTU terima kasih kak kakak sehat selalu ya aminn

diketahui bahwa 1 1 3 1 1 4